測(cè)量誤差的統(tǒng)計(jì)特性

1.測(cè)量值點(diǎn)列圖

在相同測(cè)量條件下，對(duì)某鋼球工件的直徑測(cè)量150次，得到一個(gè)測(cè)量樣本（x1，x2，……，x150 )，以測(cè)量序數(shù)i為橫坐標(biāo)，以測(cè)得值xi或其誤差為縱坐標(biāo)，畫(huà)出測(cè)量值點(diǎn)列圖（measurement point plot),如圖2 - 1所示。由該測(cè)量值點(diǎn)列圖可見(jiàn)，xi出現(xiàn)后，不能預(yù)見(jiàn)xi+1出現(xiàn)的大小和方向，但就樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律而言具 有如下特征：

①數(shù)據(jù)集中在算術(shù)平均值7.335附近，如不存在系統(tǒng)誤差，它接近約定真值；

②數(shù)據(jù)分布在7.085?7.585之間，即可確定測(cè)量值分布及其誤差分布的大致范圍；

③正負(fù)誤差的數(shù)目大致相同；

④誤差的總和大致趨于零。

以上所述的四個(gè)統(tǒng)計(jì)特征，分別稱(chēng)之為單峰性、有界性、對(duì)稱(chēng)性和抵償性。這些特征都反映了隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其中誤差的抵償性是zui本質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特征，它常作為判定誤差是否具有隨機(jī)性的標(biāo)志。

由測(cè)量數(shù)據(jù)的測(cè)量值點(diǎn)列圖可以粗略看出測(cè)量誤差的統(tǒng)計(jì)特性，如果利用測(cè)量數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)直方圖，就會(huì)更形象地看出其概率特征。

2.統(tǒng)計(jì)直方圖和概率密度分布圖

將上述測(cè)量樣本按數(shù)據(jù)的大小劃分為11組，組距△x= 0.05mm，用每組出現(xiàn)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) (稱(chēng)為頻數(shù)mi)除以樣本數(shù)n，得頻率，再除以組距△x，得頻率密度。表2-1中列出了子區(qū)間的中心值xi及其頻數(shù)mi和頻率fi。

表2-1 測(cè)量鋼球工件直徑的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

根據(jù)表2 - 1中數(shù)據(jù)，可按下列步驟作出統(tǒng)計(jì)直方圖（statistical histogram)，如圖2-2所示：

①以xi為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系。

②在橫坐標(biāo)上劃出等分的子區(qū)間。本例的子區(qū)間數(shù)目為11，各子區(qū)間的中心值為xi，各子區(qū)間的間距△x = 0.05 mm。

③劃出各子區(qū)間的直方柱。如觀測(cè)值落入2號(hào)子區(qū)間（7. 11mm，7. 16mm)的頻數(shù)為7， 頻率為 7/150=4. 67%。

④把各直方柱頂部中點(diǎn)用直線(xiàn)連接起來(lái)，便得到一條由許多折線(xiàn)連接起來(lái)的曲線(xiàn)。當(dāng)測(cè)量樣本數(shù)n無(wú)限增加，分組間隔△x趨于零時(shí)，圖2-2中直方圖折線(xiàn)就變成一條光滑的曲線(xiàn)，即測(cè)量總體的概率(分布)密度曲線(xiàn)，記為f(x)。這就是用實(shí)驗(yàn)方法由樣本數(shù)據(jù)得到的概率密度分巧圖（probability density distribution plot)。

概率密度曲線(xiàn)f(x)完好地描述了該測(cè)量(值)總體分布及其誤差分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律„由概率論易知，f(x)具有下列兩個(gè)性質(zhì)：

式中：a≤x≤b—置信區(qū)間；

P(a≤x≤b)—x出現(xiàn)在[a，b]內(nèi)的概率，也稱(chēng)為置信概率(或置信水平），簡(jiǎn)記為符號(hào)P; a——顯著性水平（又稱(chēng)顯著度或危險(xiǎn)率）。

上述各量的幾何意義如圖2 - 3所示。

對(duì)于不同的被測(cè)量，其概率密度分布函數(shù)的形式可能是不同的。在測(cè)量不確定度評(píng)定中， 經(jīng)常提到的分布有兩點(diǎn)分布、反正弦分布、矩形分布、三角分布、梯形分布、正態(tài)分布以及投影分布等。上述對(duì)測(cè)量總體及其分布的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法，在實(shí)際工作中經(jīng)常使用。在對(duì)精密儀器 的誤差分析與計(jì)量檢定工作中，為了使實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法具有足夠的可靠程度，在繪制統(tǒng)計(jì)直方圖時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題。

(1) 樣本大小

樣本大小即重復(fù)測(cè)量次數(shù)n。顯然n越大，樣本呈現(xiàn)的分布規(guī)律越穩(wěn)定。但n太大，不僅資源浪費(fèi)過(guò)大，而且難以保證多次測(cè)量都滿(mǎn)足相同的測(cè)量條件。實(shí)踐表明，在僅要確定誤差的分布范圍時(shí)，可取n=50?200;若要確定誤差分布規(guī)律時(shí)，則可取n=200~1000

(2)子區(qū)間的間距△x

子區(qū)間間距的下限應(yīng)大于儀器分辨力，并使子區(qū)間有適當(dāng)?shù)臄?shù)目。子區(qū)間數(shù)目隨n的增大而增加，一般，子區(qū)間個(gè)數(shù)的選取方法大致如下：

•當(dāng)n = 50?100時(shí)，子區(qū)間的個(gè)數(shù)是6?10;

•當(dāng)n = 100?200時(shí)，子區(qū)間的個(gè)數(shù)是9?12;

•當(dāng)n = 200?500時(shí)，子區(qū)間的個(gè)數(shù)是12?17;

•當(dāng)n>500時(shí)，子區(qū)間的個(gè)數(shù)是20。

也可利用下列兩個(gè)公式之一來(lái)計(jì)算分組數(shù)m或間距△x，即